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Mise à jour le 2 octobre 2006













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L'objet de cette page n'est pas de vous exposer la théorie très hardue des systèmes dynamiques mais de vous donner les suites et les méthodes utilisées pour engendrer les images du site.

  1. Les ensembles de Mandelbrot et Julia

    On ne les présente plus. Vous pourrez trouver de nombreuses explications sur ces ensembles du plan dans la page Liens .
    Je dirai simplement qu'ils sont définis par les suites de nombres complexes zn+1=zn2 + c .
    On peut bien sûr changer de suite pour obtenir de nouvelles "structures" comme par exemples

  2. zn+1 = zn3 + a zn2 + b zn + c ,
  3. zn+1 = zn2 + ( a + i b ) zn-1 + c où a et b sont des nombres réels.
    4. En passant, la deuxième suite qui est une suite récurrente à deux pas présente une plus grande richesse de structure que les précédentes.

  4. Attracteurs du plan

    Ces images d'attracteurs sont tirés du livre La symétrie du chaos de M. Field et M. Golubitsky. Pour représenter les attracteurs, et bassins d'attraction, on utilise une méthode différente de celle des fractales du type Mandelbrot ou Julia. C'est une méthode dite statistique car elle consiste simplement à recouvrir le plan de petits rectangles de même taille auquels on attache un compteur initialisé à zéro.
    Ensuite l'ordinateur calcule un grand nombre de termes de la suite et pour chaque terme calculé, il incrémente le compteur du petit rectangle qui contient le terme de la suite.
    Au bout d'un certain nombre (choisi par l'utilisateur) de termes calculé, on associe à chaque valeur des compteurs, une couleur.
    Pour mon programme, le choix de la couleur se fait à l'aide d'un mélange de palette de couleurs et d'algorithmes pour introduire des effets.
    On distingue deux espèces :

    1. Attracteurs symétriques du carré [0;1]2 ou couettes symétriques

      Pour ces attracteurs, on utilise les suites :
      ( xn+1 , yn+1 ) = f( xn , yn )
       
      avec
      f( x , y ) =
      m ( x , y) + v + l ( sin( 2 pi x ) , sin( 2 pi y) ) + a ( sin( 2 pi x ) cos( 2 pi y ) , sin( 2 pi y ) cos (2 pi x ) )
      + b ( sin( 4 pi x ) , sin( 4 pi y ) )
      + c ( sin(6 pi x ) cos( 4 pi y ) , sin( 6 pi y ) cos( 4 pi x ) )
      - w ( sin(2 pi y ) , sin(2 pi x ) ).
       
      où l, a, b, c et w sont des réels, v un vecteur égal à ( 0 , 0 ) ou ( 0.5 , 0.5 ) et m un entier relatif.
      Pour plus de précision, je vous renvoie au livre de M. Field et M. Golubitsky ainsi qu'au fichier qui accompagne le programme FracAt.

    2. Attracteurs de fonctions (analytiques) du plan ou icônes symétriques

      On représente les attracteurs des suites complexes :
       
      zn+1 = f( zn ) avec
       

    3. f( z ) = ( l + a z conj( z ) + b Re( zk ) + w i ) z + c conj( z )k-1.
      ou
    4. f( z ) = ( l + a z conj( z ) + b Re( zk ) + d Re( ( z / mod(z) )k p ) mod(z) ) z + c conj( z )k-1.

      5.  
      où
      l, a, b, c, w sont des réels et k, p sont des entiers positifs.
      conj( z ) est le complexe conjugué de z ,
      mod ( z) est le module de z .

  5. IFS symétriques du plan

    On représente de même avec la méthode statistique.

    1. IFS symétriques de fonctions affines du plan

      On se sert de fonctions affines de la forme :
      f( x , y ) = ( a x + b y +e , c x + d y + f ).
      On les veut contractantes donc on impose la condition :
      A + B + sqrt( ( A - C )2 + 4 B2 ) < 2
      où
      A = a2 + c2 ,
      B = a b + c d ,
      C = b2 + d2 .
      Ensuite on fait subir au point une rotation ou la reflexion d'axe ( Ox ) du groupe cyclique Zn ou diédral Dn où n est le degré de symétrie.
      Par exemple pour la symétrie de l'héxagone ( ie D6 ), on considère le groupe des rotations d'angle 0, 60, 120, 180, 240, 300 degrés et la reflexion d'axe ( Ox ) .

    2. IFS symétriques de fonctions holomorphes du disque unité

      On se sert de fonctions du dique unité du plan dans lui-même :
      f( z ) = l ( z - a ) / ( 1 - conj( a ) z ) .
      où
      a et l sont des nombres complexes du disque unité ouvert ( ie les nombres complexes de module plus petit que 1.
      Remarque : si mod( l ) = 1 on retrouve les automormisphes holomorphes du disque unité (cf. Analyse réelle et complexe de W. Rudin).
      Pour que l'attracteur est la symétrie de Zn ou Dn , on utilise la même recette que pour les fonctions affines (on ne change pas une équipe qui gagne).

  6. Bassins d'attraction

    La méthode pour représenter les bassins est la même que celle des attracteurs pour des raisons évidentes de simplicité. bien sûr, en procédant de la sorte, on perds de précieuses informations mais une étude fine pour distinguer les différents attracteurs me semble laborieuse ;-)

    On s'intéresse aux suites des chercheurs Hénon et Mira et Gumowski.

    1. Bassins de Hénon

      On reprend les suites de Hénon de R2 :
      ( xn+1 , yn+1 ) = F( xn , yn )
      avec
      F(x,y) = ( x cos( theta ) - sin( theta ) y - sin( theta ) f( x , y ) ,
      x sin( theta ) + cos( theta ) y + cos( theta ) f( x , y ) ) .
       
      a, b, theta sont des réels jouant le rôle de paramêtres.
      J'ai choisis comme première fonction f(x,y) = a sin( x + sqr( x ) + b y ) .
      C'est un choix arbitraire mais si on veut que l'application F ne soit pas contractante il faut que la dérivée partielle de f par rapport à y soit nulle : cad b = 0. Sinon ce n'est plus une suite de Hénon.
      a et b sont deux paramètres. Si b = 0 alors l'ordinateur calcule un vrai bassin de Hénon (cad F non contractante).
       
      Envoyez-moi des idées de fontions f : je les implémenterai pour vous dans la nouvelle version de FracAt.
       
       

    2. Bassins de Mira et Gumowski

      Cette fois-ci, on modifie légèrement la suite de Mira et Gumowski, soit :
      w0 = 0,
      xn+1 = b cos( theta ) yn + sin( theta ) xn + wn ,
      wn+1 = f( xn+1 , yn , xn ) ,
      yn+1 = wn+1 - cos( theta ) xn + b sin( theta ) yn .
       
      J'ai introduis la suite (wn) pour "coller" le plus possible à l'implémentation. Elle est plus complexe que la suite de Hénon car elle a le terme xn+1 dans yn+1. Cela produit des résultats spectaculaires.
      a, b sont des paramètres. b est le coefficient de dilatation de la partie linéaire.
      Je vous conseille de le choisir proche de 1 : exemple b = 1.0001 ou 0.999.
      En fait, les formules des chercheurs correspondent à theta = 0. J'ai introduis cette rotation par curiosité et les effets sont très intéressants pour des valeurs de theta petites de l'ordre de 0.0001. Essayez par vous-même.
      un exemple de fonction f est f( xp , y , x ) = A xp + ( 1 - A ) sqr( xp ) / ( 1 + sqr( xp ) )
      où sqr( xp ) = xp xp et A est un paramètre.
       
      Envoyez-moi des idées de fontions f : je les implémenterai pour vous dans la nouvelle version de FracAt.